Поділ точки кривої скрученої Едвардса на два та її застосування у криптографії

Руслан Вячеславович Скуратовский, Евгений Александрович Осадчий, Дмитрий Михайлович Квашук

Анотація


Більшість криптосистем сучасної криптографії природним чином можна реалізувати на еліптичні криві. Ми розглядаємо алгебраїчні криві Едвардса  над скінченним полем , які на даний час є одним з найбільш перспективних носіїв множин точок, що використовують для швидких групових операцій, які наявні в асиметричних криптосистемах, зокрема для побудови випадкових криптостійких послідовностей.  Показано, що проективна крива   не є еліптичною.  Досліджено  умови існування подільності навпіл елемента з групи точок  скрученої кривої Едвардса , що є важливим в алгоритмах. Знайдено рід скрученої кривої Едвардса. Метою роботи є пошук критерію подільності точки кривої навпіл над полем  і аналіз властивостей скрученої кривої Едвардса необхідних для побудови генератора псевдовипадкових криптостійких послідовностей і побудова односторонньої функції для нього.


Ключові слова


скінчене поле; алгебраїчна крива; група точок еліптичної кривої; подільність точки кривої навпіл.

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Edwards, H. M. (2007). A normal form for elliptic curves. Bulletin of the American Mathematical Society, 44 (03), 393–423. doi: 10.1090/s0273-0979-07-01153-6

Hisil, H., Wong, K. K.-H., Carter, G., Dawson, E. (2008). Twisted Edwards Curves Revisited. Lecture Notes in Computer Science, 326–343. doi: 10.1007/978-3-540-89255-7_20

Skuratovskyi, R., Movchan, A. (2016). Normalizatsiya skruchenoi kryvoi Edvardsa ta doslidzhennia yii vlastyvostei nad Fp. Teoretychni i prykladni problemy fizyky, matematyky ta informatyky. Sektsiya: Teoretychni ta prykladni problemy kryptohrafichnoho zakhystu informatsiyi. Kyiv: NTUU «KPI», 102–104.

Skuratovskyi, R. Doslidzhennia vlastyvostei skruchenoi kryvoi Edvardsa. Konferentsiya derzhavnoi sluzhby spetsialnoho zviazku ta zakhystu informatsiyi. Available at: http://www.dstszi.gov.ua/dstszi/control/uk/publish/article?showHidden=1artid=252312catid=240232ctime=1464080781894

Serhiienko, I. V., Zadiraka, V. K., Lytvyn, O. M. (2012). Elementy zahalnoi teoriyi optymalnykh alhorytmiv ta sumizhni pytannia. Kyiv: Nauk. dumka, 400.

Skuratovskii, R. V., Skruncovich, U. V. (2016). Twisted Edwards curve and its group of points over finite field Fp. XI Litnia shkola "Alhebra, Topolohiya, Analiz", 122–124.

Skuratovskii, R. V., Skruncovich, U. V. (2016). Twisted Edwards curve and its group of points over finite field Fp. Conference. Graphs and Groups, Spectra and Symmetries. Available at: http://math.nsc.ru/conference/g2/g2s2/exptext/SkruncovichSkuratovskii-abstract-G2S2.pdf

Fulton, W. (2008). Algebraic curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Third Preface, 121.

Bernstein, D. J., Birkner, P., Joye, M., Lange, T., Peters, C., Curves, T. E. (2008). IST Programme under Contract IST-2002-507932 ECRYPT, and in part by the National Science Foundation under grant ITR-0716498, 1–17.

Dolgov, V. I. (2008). Ellipticheskie krivye v kriptografii. Systemy obrobky informatsiyi, 6 (73), 3–10.

Skuratovskiy, R. V. (2013). Metod bystrogo taymernogo kodirovaniya tekstov. Kibernetika i sistemnyy analiz, 49 (1), 154–160.

Bessalov, A. V., Cygankova, O. V. (2015). Proizvoditel'nost' gruppovyh operaciy na skruchennoy krivoy Edvardsa nad prostym. Radiotekhnika, 181, 58–63.

Alekseev, E. K., Oshkin, I. B., Popov, V. O., Smyshlyaev, S. V., Sonina, L. A. (2014). O perspektivah ispol'zovaniya skruchennyh ellipticheskih krivyh Edvardsa so standartom GOST R 34.10-2012 i algoritmom klyuchevogo obmena na ego osnove. Materialy XVI mezhdunarodnoy konferencii "RusKripto’2014".

Bruce, S. (2002). Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, 816.

Bessalov, A. V., Tret'yakov, D. B. (2013). Udvoenie tochki i obratnaya zadacha dlya krivoy Edvardsa nad prostym polem. Uslovie deleniya tochki na dva dlya opredeleniya poryadka sluchaynoy tochki krivoy Edvardsa. Suchasnyi zakhyst informatsiyi, 3, 56–58.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


Edwards, H. M. A normal form for elliptic curves [Text] / H. M. Edwards // Bulletin of the American Mathematical Society. – 2007. – Vol. 44, Issue 03. – P. 393–423. doi: 10.1090/s0273-0979-07-01153-6 

Hisil, H. Twisted Edwards Curves Revisited [Text] / H. Hisil, K. K.-H. Wong, G. Carter, E. Dawson // Lecture Notes in Computer Science. – 2008. – P. 326–343. doi: 10.1007/978-3-540-89255-7_20 

Скуратовський, Р. Нормалiзацiя скрученої кривої Едвардса та дослiдження її властивостей над Fp [Текст]: Матер. XIV Всеукр. наук.-практ. конф. / Р. Скуратовський, A. Мовчан // Теоретичні i прикладні проблеми фізики, математики та інформатики. Секція: Теоретичнi та прикладнi проблеми криптографiчного захисту iнформацiї. – Київ: НТУУ «КПІ», 2016. – С. 102–104.

Скуратовський, Р. Дослiдження властивостей скрученої кривої Едвардса [Електронний ресурс] / Р. Скуратовський // Конференцiя державної служби спецiального звязку та захисту iнформацiї. – Режим доступу: http://www.dstszi.gov.ua/dstszi/control/uk/publish/article?showHidden=1artid=252312catid=240232ctime=1464080781894

Сергієнко, І. В. Елементи загальної теорії оптимальних алгоритмів та суміжні питання [Текст] / І. В. Сергієнко, В. К. Задірака, О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2012. – 400 с.

Skuratovskii, R. V. Twisted Edwards curve and its group of points over finite field Fp [Text] / R. V. Skuratovskii, U. V. Skruncovich // XI Лiтня школа "Алгебра, Топологiя, Аналiз". – 2016. – С. 122–124.

Skuratovskii, R. V. Twisted Edwards curve and its group of points over finite field Fp [Text] / R. V. Skuratovskii, U. V. Skruncovich // Conference. Graphs and Groups, Spectra and Symmetries. – 2016. – Available at: http://math.nsc.ru/conference/g2/g2s2/exptext/SkruncovichSkuratovskii-abstract-G2S2.pdf

Fulton, W. Algebraic curves. An Introduction to Algebraic Geometry [Text] / W. Fulton // Third Preface. – 2008. – 121 p.

Bernstein, D. J. IST Programme under Contract IST-2002-507932 ECRYPT, and in part by the National Science Foundation under grant ITR-0716498 [Text] / D. J. Bernstein, P. Birkner, M. Joye, T. Lange, C. Peters, T. E. Curves // 2008. – P. 1–17.

Долгов, В. И. Эллиптические кривые в криптографии [Текст] / В. И. Долгов // Системи обробки інформації. – 2008. – Вип. 6 (73). – С. 3–10.

Скуратовский, Р. В. Метод быстрого таймерного кодирования текстов [Текст] / Р. В. Скуратовский // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – Т. 49, № 1. – С. 154–160.

Бессалов, А. В. Производительность групповых операций на скрученной кривой Эдвардса над простым [Текст] / А. В. Бессалов, О. В. Цыганкова // Радиотехника. – 2015. – Вып. 181. – C. 58–63.

Алексеев, Е. К. О перспективах использования скрученных эллиптических кривых Эдвардса со стандартом ГОСТ Р 34.10-2012 и алгоритмом ключевого обмена на его основе [Текст] / Е. К. Алексеев, И. Б. Ошкин, В. О. Попов, С. В. Смышляев, Л. А. Сонина // Материалы XVI международной конференции "РусКрипто’2014". – 2014.

Bruce, S. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C [Text] / S. Bruce. 2nd ed. – 2002. – 816 p.

Бессалов, А. В. Удвоение точки и обратная задача для кривой Эдвардса над простым полем. Условие деления точки на два для определения порядка случайной точки кривой Эдвардса [Текст] / А. В. Бессалов, Д. Б. Третьяков // Сучасний захист інформації. – 2013. – № 3. – С. 56–58.







Copyright (c) 2018 Руслан Вячеславович Скуратовский, Евгений Александрович Осадчий, Дмитрий Михайлович Квашук

Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 4.0 International License.

ISSN 2411-2828 (Online), ISSN 2411-2798 (Print)